Huit diviseurs avec facteurs 3 et 5 - Corrigé

Énoncé

Déterminer tous les nombres entiers naturels possédant exactement huit diviseurs positifs et dont la décomposition en produit de facteurs premiers ne comporte que \(3\) et \(5\) comme facteurs.

Solution

Les entiers cherchés sont de la forme \(n=3^a \times 5^b\) avec \((a+1)(b+1)=8\) où \((a;b) \in \mathbb{N}^2\) .

Les diviseurs positifs de \(8\) étant \(1\) ; \(2\) ; \(4\) et \(8\) , l'égalité \((a+1)(b+1)=8\) donne quatre situations :

• soit \(a+1=1\) et \(b+1=8\) , c'est-à-dire \(a=0\) et \(b=7\) , mais ce cas est exclu car  \(3^0=1\)  donc  \(3\)  n'apparaît pas dans la décomposition en produit de facteurs premiers de  \(3^0 \times 5^7\)  ;
  
• soit \(a+1=2\) et \(b+1=4\) , c'est-à-dire \(a=1\) et \(b=3\) , et donc \(n=3^1 \times 5^3=375\) ;
• soit \(a+1=4\) et \(b+1=2\) , c'est-à-dire \(a=3\) et \(b=1\) , et donc \(n=3^3 \times 5^1=135\) ;
  
• soit \(a+1=8\) et \(b+1=1\) , c'est-à-dire \(a=7\) et \(b=0\) , mais ce cas est exclu car  \(5^0=1\)  donc  \(5\)  n'apparaît pas dans la décomposition en produit de facteurs premiers de  \(3^7 \times 5^0\) .
  

Les entiers cherchés sont donc \(135\) et \(375\) .