Huit diviseurs avec facteurs 3 et 5 - Corrigé

Énoncé

Déterminer tous les nombres entiers naturels possédant exactement huit diviseurs positifs et dont la décomposition en produit de facteurs premiers ne comporte que $3$ et $5$ comme facteurs.

Solution

Les entiers cherchés sont de la forme $n=3^a\times 5^b$ avec $(a+1)(b+1)=8$ où $(a;b)\in {\mathbb{N}}^2$ .

Les diviseurs positifs de $8$ étant $1$ ; $2$ ; $4$ et $8$ , l'égalité $(a+1)(b+1)=8$ donne quatre situations :

• soit $a+1=1$ et $b+1=8$ , c'est-à-dire $a=0$ et $b=7$ , mais ce cas est exclu car  $3^0=1$  donc  $3$  n'apparaît pas dans la décomposition en produit de facteurs premiers de  $3^0\times 5^7$  ;
  
• soit $a+1=2$ et $b+1=4$ , c'est-à-dire $a=1$ et $b=3$ , et donc $n=3^1\times 5^3=375$ ;
• soit $a+1=4$ et $b+1=2$ , c'est-à-dire $a=3$ et $b=1$ , et donc $n=3^3\times 5^1=135$ ;
  
• soit $a+1=8$ et $b+1=1$ , c'est-à-dire $a=7$ et $b=0$ , mais ce cas est exclu car  $5^0=1$  donc  $5$  n'apparaît pas dans la décomposition en produit de facteurs premiers de  $3^7\times 5^0$ .
  

Les entiers cherchés sont donc $135$ et $375$ .